Matemática en la cosmología Andina

 Las matemáticas de la cultura Andina se desarrollaron de manera muy abstracta, subdividiéndose en diferentes áreas, tuvieron grandes aportes y una manera muy peculiar de concebir el mundo.

  Se ha mencionado  que el desarrollo en la geometría fue muy sobresaliente, en culturas tales como la egipcia, la babilónica y la china; sin embargo ninguna de estas llego a tener una estructuración y sistematización axiomática tan rigurosa como la tuvo la euclidiana, presentada al modo los elementos   de Euclides.  Por su parte, las culturas asentadas en la zona de los Andes demostraron grandes conocimientos en ésta área, tanto a nivel cualitativo como cuantitativo, estas se dividieron en dos ramas: La geometría analítica fractal, que es incomprensible hasta la actualidad y la geometría Arborescente, que combinadas dieron lugar a el Kipu, el cual consistía en un sistema de referencia por medio del cual se hacían predicciones, cuentas y mediciones cualitativas; Es decir, concebían el mundo desde una cosmovisión geométrica.

Ilustración 1 Kipu wolna

Utilizaron un sistema de representación geométrica denominado “sistema de cruz cuadrada” que se basaba en una distribución de cruces concéntricas, constituyendo un cuerpo topológico fractal muy distinto al sistema cartesiano conocido en la actualidad. En ese sistema podían estudiar las propiedades de funciones discretas, más eficiente que el sistema de puntos que solamente describe los movimientos de una partícula.

 Sobre este sistema se hizo la construcción en un ente geométrico simbólico llamado la “Chakana”, que tiene relación con la agricultura, la distribución del agua y  las constelaciones.

Ilustración 2 la Chakana

Las matemáticas arborescentes van más relacionadas a la estructuración lógica del Kipu, es un sistema de representación en el espacio con variaciones del métrico. El nuevo espacio va en relación al entorno del hombre andino, proveniente de la naturaleza, relacionado  con su estructura y su proceso reproductivo. En este sistema las combinaciones genéticas se podían simular mediante  nudos y ramas, calculando así las características del descendiente y su parentesco.

 Aunque el kipu originalmente fue creado para la predicción por medio de experimentación agrícola a causa de las catástrofes climatológicas y algunos fenómenos, su uso trascendió tanto en el uso agrícola, como en la astronomía, astrología, historia,  los juicios y otros, teniendo en cuenta que este conlleva una  gran dificultad deliberativa por el tipo, color y distanciamiento de los nudos, con diferentes interpretaciones.

  Por otro lado, es importante mencionar la manera en que los andinos desarrollaron la aritmética con tanta eficiencia, utilizando dos instrumentos llamados la “yupana” y la “tapana”, en los cuales emplearon la notación de arriba hacia abajo, no por renglón seguido, forma en la que contaban. Según la literatura en los últimos 500 años del reino Inca, se utilizó una escritura imperfecta de archivos o depósitos, hechos en madera, piedra o barro, con separaciones en las cuales introducían piedras de distintos tamaños, colores y formas, brindando información de cuentas puntuales que realizaban ciertos miembros.

Ilustración 3yupana-trton

 El siguiente video muestra la composición de la yupana, y algunas operaciones sencillas que se podían realizar con la misma.

Matemática en la cosmología Maya

Para los mayas existieron diversas  representaciones de la matemática, tanto en los cálculos numéricos de tipo operacional, como en los astronómicos y en cuestiones predictivas. Sin embargo, según su cosmovisión, la creadora del universo es soberana en cuanto al cálculo numérico, estableciendo balances y medidas de perfección, tan potenciales, que permitan la descripción de los astros, en cuanto a modelos  físicos y químicos  del universo.

 Es por tanto, que las operaciones aritméticas con medidas tienen un simbolismo muy fuerte en referencia a su cosmogonía, eran más que una creación, y una representación de su creador. En esta cultura el número tenía una atribución religiosa y espiritual de gran relevancia, es la propia visión de sus vidas.

 Los mayas utilizaban granos de maíz de dos colores, o piedras y varitas para representar los numerales del uno al cinco, que al colocarlos  en una cuadricula dibujada en el suelo, podían hacer grandes cálculos de operaciones complejas que se podrían relacionar con arquitectura, ingeniería, astronomía y otros.

Algunas de las representaciones numéricas de los mayas son las siguientes

Estos se basaban en cinco representaciones numerales, las cuales tenían que ser posicionales, en orden vertical; por otro lado,  los mayas resolvieron el cálculo de grandes cantidades numéricas según sus representaciones, ya que habían modelado un sistema de abstracción y conteo muy accesible para hacer conteos de manera rápida y precisa, estos utilizaron un sistema de numeración vigesimal.

 Algunos aportes de los mayas fueron los siguientes

• Un sistema completo de cálculos, con el que construyeron un calendario con una exactitud impresionante.
• Importantes predicciones astronómicas.
• Realizaron un calendario que mostraba las apariciones anticipadas de Venus.

El siguiente video describe información interesante  sobre la numeración y otros aportes de los Mayas.

El surgimiento del álgebra en el islam

 Antes de analizar el  desarrollo histórico matemático que tuvo el islam, debemos comprender el origen de la palabra “islam”, haciendo una diferencia entre el árabe y el mismo, ya que hoy  en día muchos tienen una concepción errónea de los términos.  El islam es una religión abrahámica, cuyo dogma se basa en el libro del Corán, el cual tiene como premisa principal para sus seguidores la exaltación de su Dios Alá,  Los eruditos islámicos definen al islam como “La sumisión a Dios el Altísimo a través del monoteísmo, la obediencia y el abandono de la idolatría ”. Mientras que los árabes son miembros  de alguna tribu originaria de  Arabia, o descendientes de alguna.

 En el siglo VIII d.C se fundó Bagdad en Irak, dando paso a un desarrollo intelectual en  las  diferentes ciencias, en este lugar se estableció una biblioteca que reunía los conocimientos de distintas  academias muy famosas, entre las cuales se encuentra la de Alejandría y la de Atenas, estas fueron cerradas luego de la persecución de los romanos.  Luego se funda el instituto de Bagdad, en el cual se reunían  muchos filósofos matemáticos provenientes de diversas zonas, gracias a estos se generaron grandiosos manuscritos que exponían conocimientos matemáticos en diferentes lenguas, rescatando el saber.

texto islámico sobre  álgebra y astronomía

El álgebra antigua tiene sus orígenes en  el mundo islámico, en donde se le conoció como la ciencia de la reducción y el equilibrio. La palabra árabe Al-Abr hacer referencia a la reducción y es el origen de la palabra algebra. Fueron los árabes, quienes dieron el carácter riguroso a la ciencia al  plantear y resolver diversas  ecuaciones  algebraicas; sin embargo, la exposición  de resultados algebraicos, por parte de algebristas islámicos en el siglo XI, fue poco notoria, debido a su reducida influencia sobre Europa. Siglos después la situación cambia cuando invaden Europa, pero poco después son expulsados y lo que es peor, los diferentes textos llenos de conocimiento matemático  son  quemados, con lo que se pierden muchos resultados generados por egipcios, babilonios y otras culturas.

  Después de ésta situación, durante el renacimiento, muchos matemáticos redescubren y desarrollan  tales conocimientos, principalmente originarios de Francia e Italia. En el  área de la geometría se da un importante avance, ya que Rene  Descartes integra el álgebra a través de la geometría en  diferentes publicaciones  durante el siglo XVI. Gracias a estos aportes, otros filósofos matemáticos estudian el cálculo, que hoy en día es tan aplicado junto con otras áreas del conocimiento.

algebra del islam

Matemática en la India

 Al igual que en otras regiones, La India tuvo grandes aportes en las matemáticas de la antigüedad. En los sistemas de numeración, muchas regiones presentaron variantes en simbolismos y estructuras representativas, muy similares a las que utilizamos hoy en día, como lo mencionamos en anteriormente,  las primeras escrituras numéricas se realizaban por medio de incisiones en hueso, piedra u otros materiales, tal como lo hacían en África con el hueso de Ishango. Luego, los babilonios, de manera similara a los  egipcios,  imprimieron sus números, representados por figuras en forma de cuña sobre tablillas de arcilla, los cuales se basaban en un sistema sexagesimal, similar al utilizado hoy en día para mediciones del tiempo. 

  El origen de nuestro sistema numérico se da principalmente  en la India, a partir de las representaciones de números con 10 símbolos de forma posicional,  utilizando  símbolos del 0 al 9, que facilitaban los cálculos.

Sin embargo, los numerales de la actualidad están basados en un proceso evolutivo de diferentes culturas indias,  primeramente tenemos los numerales presentados  por los Brahmis (300 d.C), los cuales tuvieron mayor utilidad durante la expansión del imperio Gupda. Luego  estos numerales se convirtieron en  los numerales Nagari, que pasaron a ser los Arábigos que utilizamos hoy en día.

Los textos más antiguas relacionados con las matemáticas son llamados Sulbasutras o reglas de la cuerda, estos contienen instrucciones para la construcción de altares, basadas en medidas muy exactas, ya que para ellos esto simboliza exaltación a  los dioses, por lo que exactitud era de gran importancia. Estos textos contienen una amplia gama de conocimientos geométricos relacionados con áreas de círculos y ciertos polígonos, debido a que estos eran la base de sus altares.

 Se menciona que hacían distintas construcciones del teorema de pitágoras y aproximaron Phi, aunque no de manera tan exacta como en otras cultura.

También tenían conocimientos trigonométricos, aplicados en diferentes obras, los que desarrollaban a partir de circunferencias y distintos rayos, se dice que son los creadores de la función seno que utilizamos en la actualidad.

 Existieron muchos matemáticos que generaron grandes resultados, como lo es Aryabhata, quien escribe sobre la astronomía y matemática, Brahmagupta da reglas para la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas, determinación de raíces cuadradas y cubicas, este ultimo manipula el cero en distintas  ecuaciones.  El desarrollo matemático  que se dio en esta cultura es impresionante, muchas de los resultados  generados por  filósofos, antes y durante la época coinciden con formulaciones  presentadas en la India.

El libro de los Nueve Capítulos

El desarrollo de las matemáticas chinas surge 2750 años antes de nuestra era.  El libro de los  Nueve capítulos “Chi chang suan shu” es un trabajo representativo del desarrollo  y construcción de las matemáticas antiguas, más específicamente una integración de conocimientos presentados de manera independiente por la civilización, debido a su ubicación geográfica, cuestión que varía mucho en relación con otras culturas; sin embargo, tuvo gran importancia, por sus aportes, en el desarrollo del área.

  Este libro sobre el arte de las matemáticas  es una compilación de problemas contextuales con instrucciones que explican cómo dar solución a cada uno. Consta de 246 problemas  relacionados con la agrimensura, agricultura, ingeniería, negocios, cálculos aritméticos, solución de ecuaciones y algunas propiedades geométricas. Por otro lado, Los Nueve Capítulos  presentaban conocimientos muy similares a los de la cultura egipcia, un ejemplo es  la base del método de la posición falsa para realizar aproximaciones, cosa que fue desarrollada de manera independiente por cada civilización.

  En la resolución de algunos problemas, los chinos utilizaban  un método que hoy podríamos relacionar con el tanteo; es decir, sin realizar un cálculo significativo, asumían ciertos valores de solución y verificaban si cumplían las hipótesis, si estos valores no funcionaban, probaban otros que se  aproximaran mejor. 

problema del libro de los nueve capítulos

Algunos de los conocimientos que poseían son

·         Cálculo de áreas de triángulos, trapezoides y rectángulos

·         Cálculo del área de un círculo  a partir de  tres cuartas partes del cuadrado del diámetro, lo cual es correcto si se acepta el valor 3 para Phi; sin embargo, podían realizar aproximaciones con muchos dígitos correctos, aporte que brindo Liu Hui en el siglo III d.C.  

·         Resolución de problemas a partir de la regla de tres.

·         Extracción de raíces cuadradas y cúbicas.

·         Resolución de ecuaciones lineales con más de una incógnita.

·         El último de los nueve capítulos fue basado en la resolución de problemas que involucraban triángulos rectángulos, utilizando el teorema de Pitágoras.

Añadir leyenda

·         Encontraban patrones en los fenómenos naturales, lo que dio paso a la creación de múltiples cuadrados mágicos.

·         Utilizaron varitas para contar diferentes cifras, diferenciando entre vara verticales y horizontales.

representaciones  de números por varas 

A continuación se presenta un video que muestra la composición de  una herramienta muy utilizada para hacer cuentas matemáticas en la antigua cultura china, “el  Sóroban”, cuyo origen se da a partir de un ábaco chino, después del uso de varitas (siglo II A.C), utilizado actualmente en Japón y algunas culturas orientales.

Matemática Pitagórica desde la perspectiva No Occidental

Las matemáticas forman parte de la construcción social de una cultura, son tan esenciales como el aprendizaje de la lengua originaria.

 En el caso de la cultura africana el conocimiento matemático fue construido y enseñado de distintas maneras, muy variante al implementado por las culturas ya mencionadas.

 Los egipcios utilizaron como soporte de manuscrito los papiros, los babilonios utilizaron las tablillas de arcilla; sin embargo, los principales conocimientos matemáticos de la antigüedad  en áfrica fueron grabados en el  "hueso Ishango" , con más de 8000 años

de edad, que se encuentra en Ishango en las orillas del lago Edward , Zaire (ahora

Números de República Democrática del Congo ) , en África , mostrando información conservada a través de ranuras en el hueso.

Hueso de Ishango

Existen grandes aportes que se dieron partir de las osificadas (8000 aC ) y matemáticas deductivas atribuido a Tales de Mileto, había una gran cantidad de avances y descubrimientos matemáticas desarrolladas por los cuatro rincones del planeta . En este  espacio temporal entre Ishango y cuentos  que se encuentran  registros matemáticos de civilizaciones que desarrollado a partir de 3000 aC a orillas del río Nilo, en África, el Tigris  y el río Amarillo , China.

 Sin embargo, la disponibilidad de fuentes trasmitidas a través de generaciones es muy escasa, lo cual delimita la búsqueda en el espacio de ésta civilización en el desarrollo del pensamiento matemático, al cual lo asociaban más con el arte y las manualidades. Esto se da  alrededor de los siglos 2000 aC a 332 aC, que comprende  la fase inicial del período helénico.

Matemáticas africanas

Matemática Pitagórica desde la perspectiva Occidental

 La matemática pitagórica desarrollada desde la perspectiva occidental se desarrolla durante dos periodos muy importantes en Grecia, el clásico (600 a.c- 300 a.c.)  Y el alejandrino (300 a.c.- 400 d.c), en el primero  se desarrolló la escuela Jónica, la pitagórica, la Academia de Platón y el Liceo de Aristóteles, mientras que en el segundo periodo, el acontecimiento más importante fue el surgimiento de la biblioteca de Alejandría.

 Una de los principales propulsores de las matemáticas, aparte de Euclides, Arquímedes y Apolonio, fue Pitágoras (570 a.c- 469 a.c.), discípulo de Tales y de Fenecidas de Siria,  a quien se le atribuye el famoso teorema que lleva su nombre, este personaje, fundador de la famosa escuela Pitagórica que  desarrolló la Tablas de multiplicar.

 Los pitagóricos relacionaban la música y los fenómenos naturales con las matemáticas, desarrollan un sistema lógico y deductivo en el área. Por otro lado, hacen una distinción de  para los números relacionándolos con la vida y la divinidad, este es el eje central en relación con las matemáticas.

 Me llama la atención este  aspecto, por lo que quise investigar un poco más sobre el simbolismo de los números.

 Uno de los descubrimientos más llamativos, que  se estudian hasta la actualidad, fue el número de oro, conocido también como número dorado, sección áurea, razón áurea, proporción áurea y proporción divina. Representado por la letra griega , se trata de un número que posee muchas propiedades interesantes.

·         Su belleza no se presenta como unidad, sino más bien como relación  o proporción en algunas figuras geométricas, partes de un cuerpo y en la naturaleza.

·         Utilizado en el  Renacimiento, particularmente en las artes plásticas y la arquitectura. Se consideraba la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo.

·         Está comprobado que la mayor cantidad de números phi en el cuerpo y el rostro hacen que la mayoría de las personas reconozcan a esos individuos como lindos, bellos y proporcionados.

En el arte

·         El rostro de la Gioconda proporcionado con rectángulos áureos.

·         Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da Vinci.

·         Relaciones arquitectónicas en las Pirámides de Egipto.

En la naturaleza

·         Razón áurea en  la distribución de las hojas en un tallo

·         La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal. 

·         La distancia entre las espirales de una piña.

·         Dimensiones de insectos, pájaros y caracolas.

·         La Anatomía de los humanos se basa en una relación Phi exacta

Hoy en día la razón áurea se puede ver en multitud de diseños. 

Las ecuaciones en la resolución de problemas matemáticos en la Cultura Babilónica

sesión del 10 de agosto 

Durante el cuarto milenio antes de nuestra era en el valle de Mesopotamia, donde se encontraba la ciudad de babilonia, se dieron grandes avances tales como el uso de la escritura, la rueda y los metales. Al igual que  Egipto, Mesopotamia tenía un grado alto de civilización.

 Existe una gran cantidad de documentación relacionada con las matemáticas mesopotámicas; sin embargo, la mayor parte de este material proviene de dos épocas muy distintas, la antigua babilonia,  los dos primeros siglos del segundo milenio a.C y el periodo seleucída que se dio en los últimos siglos del primer milenio a.C.

 A diferencia de los egipcios, los escribas babilónicos imprimían sus textos en tablillas de arcilla cocidas en hornos  o a partir del  sol, para esto utilizaban una varilla. A esta tipo de escritura se le denomino cuneiforme, por la realización  de cuñas en los escritos, los cuales perduraban más que los papiros de los egipcios por el tipo de material. Es por esto que hoy en día tenemos una mayor masa documental de aportes matemáticos de ésta cultura.

tablilla cuneiforme

 Por la flexibilidad de las operaciones algebraicas que habían desarrollado los babilónicos, los problemas que involucraban ecuaciones de   diferentes tipos, no presentaban mayor dificultad en la resolución. Por otro lado, fueron excelentes operando con distintas factorizaciones complejas que les posibilitaba  manipular ecuaciones operando en ambos lados de  la igualdad por medio de sumas y productos.

  Uno de los conceptos más abstractos o más difíciles de entender  hasta la actualidad  fue el procedimiento para representar lo que hoy en día conocemos como  variables de una ecuación,  ya que los babilónicos solían representar las mismas por medio de  anchuras, áreas, longitudes y volúmenes que podían observar del entorno, relacionándolas y comparándolas entre sí, cosa que contextualmente no tendría sentido en la actualidad. Sin embargo, daban soluciones exactas y aproximaciones muy buenas, al igual que los egipcios.

 Muchos escritos mencionan que en la resolución de ecuaciones cuadráticas y cúbicas completas los babilonios superaban a los egipcios por su gran potencial en el desarrollo del algebra, es más, por parte de los egipcios no existe documentación que muestre resolución de ecuaciones cúbicas. Sin embargo, se desconoce el hecho de que los babilonios redujeran cualquier ecuación cúbica a la forma general, pero el solo hecho de resolver algunos tipos, demuestra que para la época esta cultura poseía conocimientos matemáticos demasiado avanzados.

 En este video se puede apreciar un método de resolución que utilizaban los babilonios para determinar medidas relacionadas con la geometría, cosa que para ellos era una simple aplicación de la aritmética.

La Geometría en la Cultura Egipcia

Sesión del 03 de agosto

 Una de las culturas mediterráneas más importantes en el desarrollo de las matemáticas desde el inicio de los tiempos  fue la egipcia, ésta  realizó grandes aportes en el área de la geometría y  el álgebra. 

  Algunos matemáticos, tales como Heródoto, Diodoro y Estrabón, atribuyen  a ésta cultura el origen de la geometría por la variedad de problemas geométricos que debían resolver para dar solución a las diferentes situaciones que se presentaban en esta región.  Un ejemplo de esto  son las inundaciones periódicas que se daban por los desbordamientos del río Nilo, con lo cual debían hacer cálculos y mediciones geométricas para poder prevenir pérdidas en sus cultivos.

 Los egipcios plasmaban la información sobre diferentes textos y conocimientos matemáticos en papiros, que aunque no era un material tan apto para resistir los estragos del tiempo, muchos lograron perdurar a través de los años para ser utilizados en la educación de los escribas. Sin embargo, los problemas geométricos que presentaban estos personajes, a pesar de su precisión en aproximaciones, estaban enfocados a situaciones concretas y no presentaban leyes generalizadas o métodos de resolución que dieran justificaciones claras de las operaciones.

  Existen dos  papiros que presentan conocimientos  matemáticos registrados durante la época, el de Ahmes y el de Moscú, el primero  contiene aproximadamente 87 problemas relacionados con aritmética y cuestiones geométricas tales como el cálculo de volúmenes, perímetros y áreas en diferentes  cuerpos geométricos. 

 Por otro lado,  tuvieron estudios relacionados con la circunferencia, aproximando áreas y proporciones, tal es el caso de la aproximación de Phi dada por 3.16, que tiene cierto margen de error, y el número aureo. A pesar de la gran capacidad que poseían los egipcios para resolver problemas de tipo geométrico y aritmético, siempre tuvieron la deficiencia de no hacer distinción entre lo que es una medida exacta y una aproximada.

 A continuación se presenta un video que describe el sistema de numeración utilizado por los egipcios

Sesión del 27 de julio, 2015

 La matemática ha tenido un gran impacto en nuestra cultura a través de la historia, la contribución de ésta en la vida  va más allá de sus aplicaciones concretas en la física, las diferentes ingenierías y otras áreas; ya que esta forma parte de toda una construcción holística de saberes que se han desarrollado desde hace muchos siglos.

 El desarrollo matemático se da a partir de distintas civilizaciones antiguas, que juegan un papel importante en la actualidad. Los distintos aportes y la compresión de la misma se dieron de una manera contrastada a partir de grandes filósofos que trabajaron de manera  rigurosa  y colectiva durante toda su vida,  para poder interpretar, medir y cuantificar de alguna manera los fenómenos de la naturaleza y la vida.  Por ello la filosofía  está inmersa, y   es uno de los fundamentos de esta ciencia, que se complementa como base de otras.

Es importante mencionar algunas de las civilizaciones antiguas que tuvieron un papel importante en el desarrollo de las matemáticas, las cuales,  por medio del intercambio de conocimientos e innovaciones, dieron el sustento y una base sólida para poder ampliar estudios en los diferentes campos de la humanidad. Entre las cuales se encuentran Egipto, Mesopotamia, Griegos, Egeos, China e India y Roma.

 Debemos tener en cuenta que los personajes dedicados al estudio de las ciencias que existieron en estas épocas fueron, en su mayoría,  integradores de diferentes disciplinas y campos del saber. Es por esto que un filósofo tenía conocimientos en matemáticas, física, biología, astronomía y otras áreas;  con un potencial suficiente para realizar  aportes científicos innovadores, como lo hicieron Pitágoras, Platón, Descartes, Leibniz, Euler y otros.

 Actualmente podemos apreciar la enorme herencia del conocimiento que han desarrollado los grandes pensadores matemáticos del pasado;sin embargo, considero que el aprendizaje en  ésta disciplina, aunque debe desarrollarse aún  más, debe tratar de  formalizar e integrar, de manera explícita, los diferentes aportes teóricos del pasado, para poder aplicarlos en diferentes problemas, intentando comprender nuestra  realidad y la naturaleza.  Sin pensar que las matemáticas dan respuesta a todos los fenómenos y son exactas en cualquier situación, pero si están inmersas en todos los aspectos de la vida y pueden adaptables bajo diferentes modelos.

 A continuación se muestra un vídeo sobre la relación que tienen las matemáticas con diferentes áreas de la vida y la aplicabilidad de la misma.